Aukso pjūvis

Aukso pjūvis yra konkrečiai apibrėžtas matematinis santykis, kurį galima naudoti paveikslo plokštumai dalyti ir kompoziciniams orientyrams ieškoti. Jis dažnai pristatomas kaip tobulos harmonijos formulė, tačiau matematinių jo savybių nereikėtų painioti su meninės vertės įrodymu.

Tapyboje aukso pjūvio linijos gali padėti apgalvoti pagrindinių formų vietą, erdvės paskirstymą, dominuojančių masių santykius ir asimetriją. Jos nėra nei universalus receptas, nei reikalavimas, kurio privalo laikytis kiekvienas paveikslas.

Kas matematiškai yra aukso pjūvis

Tarkime, turime atkarpą, padalytą į ilgesnę dalį a ir trumpesnę dalį b. Aukso pjūvis gaunamas tada, kai visos atkarpos santykis su ilgesniąja dalimi lygus ilgesniosios dalies santykiui su trumpesniąja:

(a + b) / a = a / b = φ

Čia φ (fi) yra aukso pjūvio skaičius:

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887

Iš šios lygybės gauname dar dvi svarbias proporcijas:

1 / φ ≈ 0,6180339887 (apie 61,8 % viso ilgio)

1 / φ² ≈ 0,3819660113 (apie 38,2 % viso ilgio)

Vadinasi, aukso pjūvio taškas yra maždaug 61,8 % atkarpos ilgio nuo vieno jos galo arba 38,2 % nuo kito. Apsukus kryptį gaunamas simetriškas antrasis orientyras. Šie skaičiai nėra atskiri savavališki koeficientai: abu kyla iš tos pačios matematinės lygybės [1, 2].

Aukso pjūvio linijos paveikslo plokštumoje

Norint panaudoti aukso pjūvį stačiakampiame arba kvadratiniame paveiksle, jo plotis W ir aukštis H skaidomi nepriklausomai. Atitinkamose vietose brėžiamos vertikalios ir horizontalios linijos.

• Vertikalios linijos: x = 0,381966 × W ir x = 0,618034 × W.
• Horizontalios linijos: y = 0,381966 × H ir y = 0,618034 × H.

Pavyzdžiui, 60 × 40 cm drobėje vertikalios linijos atsidurs maždaug 22,92 ir 37,08 cm nuo kairiojo krašto, o horizontalios – 15,28 ir 24,72 cm nuo viršaus.

Susidaro keturi linijų susikirtimo taškai, kuriuos galima naudoti kaip orientyrus, ir nevienodo dydžio vaizdo sritys. Centrinė juosta užima apie 23,6 % atitinkamo matmens, o išorinės sritys – po 38,2 %.

Svarbi detalė: 60 × 40 cm drobės kraštinių santykis yra 1,5, o ne φ. Todėl aukso pjūvio linijas galima taikyti bet kuriam formatui, tačiau vien dėl jų pats drobės stačiakampis netampa aukso stačiakampiu.

Aukso pjūvis, aukso stačiakampis ir Fi tinklelis

Šie terminai susiję, bet nereiškia to paties.

Aukso pjūvis nusako atkarpos dalijimo santykį. Tapyboje jis dažnai vaizduojamas dviem vertikaliomis ir dviem horizontaliomis linijomis, žyminčiomis 38,2 % ir 61,8 % padalas.

Aukso stačiakampis yra toks stačiakampis, kurio ilgesniosios kraštinės santykis su trumpesniąja yra φ:1. Pavyzdžiui, 50 cm aukščio aukso stačiakampio plotis būtų maždaug 80,9 cm. Nuo tokio stačiakampio atkirtus kvadratą, likęs mažesnis stačiakampis turi tą patį kraštinių santykį [1, 2].

Fi tinklelis gali būti sudaromas kartojant ar papildomai skaidant aukso pjūvio proporcijas. Skirtingose vaizdo analizės sistemose tokio tinklelio linijų skaičius ir jų konstravimo būdas gali skirtis. Todėl prieš interpretuojant jį reikia žinoti konkrečią konstrukciją. Platesnį Fi tinklelį verta aptarti atskirame straipsnyje.

Aukso spiralė yra dar kita matematinė idėja, susijusi su logaritmine spirale. Populiariuose brėžiniuose ji dažnai aproksimuojama ketvirčio apskritimų lankais aukso stačiakampyje. Tokie lankai ir tiksli logaritminė spiralė nėra identiškos kreivės. Joms taip pat bus skirtas atskiras aptarimas.

Taigi aukso pjūvio linijų, aukso stačiakampio ir spiralės nereikėtų laikyti trimis vienodo dalyko pavadinimais.

Istorija: nuo Euklido iki Renesanso

Ši proporcija buvo nagrinėjama gerokai anksčiau, negu atsirado šiandien paplitęs pavadinimas aukso pjūvis. Euklido veikale Pradmenys (Elements) aprašytas atkarpos dalijimas kraštutiniu ir viduriniu santykiu (extreme and mean ratio). Šis apibrėžimas pateiktas VI knygos 3 apibrėžime, o geometrinės konstrukcijos siejamos ir su II knygos 11 teiginiu bei VI knygos 30 teiginiu [1, 2].

Antikinėje geometrijoje šis santykis buvo svarbus, be kita ko, taisyklingojo penkiakampio ir kai kurių erdvinių kūnų konstrukcijoms. Tai patvirtina jo matematinį reikšmingumą, bet savaime neįrodo, kad antikiniai tapytojai ir architektai jį visuotinai laikė privaloma grožio formule.

Renesanso laikotarpiu proporcijų tyrinėjimams svarbus matematiko Luca Pacioli veikalas Divina proportione, išleistas Venecijoje 1509 m. Leonardo da Vinci jam parengė geometrinių kūnų iliustracijas. Tai dokumentuotas matematikos ir meninio vaizdavimo bendradarbiavimo pavyzdys [3].

Tačiau Leonardo dalyvavimas iliustruojant šį veikalą nereiškia, kad aukso pjūvio tinklelis buvo sąmoningai taikytas kiekvienoje jo tapybos kompozicijoje. Konkrečiam paveikslui priskirti tokią konstrukciją reikėtų papildomų istorinių įrodymų.

Pats terminas aukso pjūvis yra vėlesnis. Matematikos istorijos tyrimuose ankstyviausi žinomi vokiško termino goldener Schnitt pėdsakai siejami su XIX a. pirmąja puse, o ne su antikos šaltiniais [2].

Ką verta žinoti apie populiarius mitus

Internete dažnai galima išvysti aukso stačiakampius, uždėtus ant Partenono, Mona Lizos, senovinių šventyklų ar kitų žinomų kūrinių. Toks vaizdas pats savaime nėra autoriaus intencijos įrodymas.

Kad perdanga būtų argumentas, reikia aiškiai nurodyti, kokie tiksliai kūrinio taškai ar kraštai matuojami, kaip pasirinktas apkirpimas, kokia paklaida leidžiama ir kokie nepriklausomi šaltiniai patvirtina pasirinktą proporcijų sistemą.

Jeigu stačiakampį leidžiama laisvai stumdyti, didinti, mažinti arba parinkti kitokį kūrinio apkirpimą, panašią schemą galima pritaikyti daugeliui vaizdų. Tai neparodo, kad dailininkas ja vadovavosi.

Matematikas George’as Markowsky 1992 m. straipsnyje išsamiai aptarė plačiai kartojamus klaidingus teiginius apie aukso pjūvio naudojimą mene, architektūroje ir estetikoje [4]. Todėl apie senųjų meistrų darbų proporcijas geriau kalbėti atsargiai, neperrašant spėjimų kaip istorinių faktų.

Tas pats galioja ir gamtai: tam tikros spiralės, penkiakampės struktūros ar augalų išsidėstymai gali būti matematiškai susiję su aukso pjūviu, tačiau ne kiekvienas kriauklės kontūras ar augalo forma jį atitinka tiksliai. Vizualinis panašumas nėra matavimas.

Ką apie estetinį poveikį rodo tyrimai

XIX a. Gustavui Fechneriui priskiriami ankstyvieji eksperimentai, kuriuose buvo tiriamas žmonių polinkis rinktis tam tikrų proporcijų stačiakampius. Vėliau atlikti bandymai davė nevienodus rezultatus.

2013 m. Stephen E. Palmerio, Karen B. Schloss ir Jonathano Sammartino mokslinėje apžvalgoje pažymima, kad kai kuriems žmonėms patinka formatai, artimi aukso stačiakampiui, tačiau nuostatos skiriasi priklausomai nuo žiūrovo ir situacijos. Vieno visiems optimalaus santykio tyrimų visuma nepatvirtina [5].

1976 m. eksperimentas taip pat parodė, kad pasirinktų stačiakampių proporcijų vertinimui gali turėti reikšmės siūlomų variantų diapazonas ir eksperimento dalyviams pateiktos užuominos [6].

Tokius tyrimus svarbu interpretuoti tinkamame kontekste. Vien tik tuščių stačiakampių formų pasirinkimas nėra tas pats, kas sudėtingo paveikslo vertinimas. Paveiksle veikia siužetas, regimasis judėjimas, vertiniai santykiai, spalva, formos, faktūros ir emocinis turinys.

Patikimiausia išvada nėra ta, kad aukso pjūvis bevertis. Jis turi aiškią matematinę struktūrą ir gali būti patogus kompozicinis įrankis. Tačiau nėra pagrindo tvirtinti, kad jis visada sukuria gražesnį vaizdą.

Praktinis taikymas tapyboje

Natiurmortas

Natiurmorte aukso pjūvio linijos gali padėti pasirinkti pagrindinės daiktų grupės vietą. Pavyzdžiui, aukšto butelio ašį galima sieti su viena vertikalia linija, o dubens arba audinio grupę naudoti kaip atsvarą.

Svarbu matuoti ne tik atskirų daiktų centrus. Bendra daiktų grupės forma, jų persidengimas, šešėliai ir neigiama erdvė gali būti kompoziciškai svarbesni negu tikslus butelio kontūro sutapimas su linija.

Kraštovaizdis

Peizaže viena horizontali aukso pjūvio linija gali būti pradinis orientyras sprendžiant, kiek vietos skirti dangui ir žemei. Tačiau horizonto aukštį pirmiausia turėtų lemti pasirinktas motyvas ir vaizdo akcentas.

Didelės debesų masės, tamsus miško siluetas ar ryškus priekinio plano plotas gali visiškai pakeisti kompozicijos pusiausvyrą net tada, kai horizontas lieka toje pačioje vietoje.

Portretas

Portrete aukso pjūvio linijos gali padėti tikrinti figūros ir tuščios erdvės santykį, galvos vietą arba bendrą biusto aukštį. Nereikėtų jų laikyti universalia veido anatominių proporcijų schema.

Akies, nosies, lūpų ir galvos matmenys priklauso nuo konkretaus žmogaus, rakurso ir perspektyvos. Anatominių ypatybių pritaikymas prie iš anksto pasirinkto skaičiaus gali pabloginti panašumą.

Kada aukso pjūvio nereikia

Ši konstrukcija nėra privaloma, kai meninė idėja remiasi griežta simetrija, centrine ašimi, ritmišku pasikartojimu, dramatiška įstrižaine arba tyčiniu pusiausvyros sutrikdymu.

Geometrinių linijų nederėtų laikyti vienodai stipriomis kompozicinėmis komandomis. Kartais svarbu išlaikyti aiškų centrą, kartais – sąmoningai jį suardyti. Aukso pjūvio gairė tik pasiūlo dar vieną galimą sprendimo variantą.

Ne mažiau svarbu nepainioti objekto vietos ir jo vizualinio svorio. Nedidelis tamsus plotas gali atsverti gerokai didesnę, bet mažo kontrasto formą. Vien aritmetinės proporcijos to neįvertina.

Praktinis pratimas: trys to paties natiurmorto eskizai

Paruošk nedidelį natiurmortą su vienu aukštesniu ir dviem mažesniais objektais. Pasirink pastovaus formato popierių ir nupiešk tris greitus kompozicinius eskizus. Visuose išlaikyk tą patį apšvietimą ir panašų vaizdavimo mastelį.

1. Pirmąjį eskizą sudėliok be geometrinio tinklelio, remdamasis bendru objektų siluetu ir vertinėmis masėmis.
2. Antrajame panaudok trečdalių taisyklės orientyrus. Ieškok, kur geriausia komponuoti pagrindinį objektą ir kaip subalansuoti likusią erdvę.
3. Trečiajame tas pačias formas išdėstyk pagal aukso pjūvio linijas ties 38,2 % ir 61,8 %. Nesistenk visų daiktų pririšti prie tinklelio.

Palygink visus eskizus pagal aiškumą, siluetą, neigiamos erdvės ritmą, vizualinį svorį ir tai, kur pirmiausia krypsta žvilgsnis. Nesirink nugalėtojo pagal matematinį tikslumą. Įvertink, kuris sprendimas geriausiai perteikia norimą įspūdį.

Apibendrinimas

Aukso pjūvis – matematiškai tikslus proporcijų santykis, o tapyboje – viena iš daugelio kompozicijos organizavimo priemonių. Jo linijos gali padėti ieškoti asimetrinių santykių ir susieti svarbias paveikslo sritis.

Aukso pjūvio tinklelis, aukso stačiakampis, Fi tinklelis ir aukso spiralė yra susijusios, bet skirtingos konstrukcijos. Jų nereikėtų suplakti į vieną universalią schemą.

Svarbiausia ne kiek kūrinys atitinka iš anksto pasirinktą skaičių, o ar geometrija padeda išspręsti konkrečią meninę užduotį.

Šaltiniai ir papildoma literatūra

[1] Euclid. Elements, Book VI, Definition 3 and Proposition 30; Book II, Proposition 11. Online edition of Euclid’s Elements.

[2] O’Connor, J. J., Robertson, E. F. The Golden Ratio. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.

[3] Pacioli, Luca. Divina proportione (1509). University of Oklahoma Libraries, Galileo’s World exhibit.

[4] Markowsky, George. Misconceptions about the Golden Ratio. The College Mathematics Journal, 23(1), 2–19 (1992).

[5] Palmer, S. E., Schloss, K. B., Sammartino, J. Visual Aesthetics and Human Preference. Annual Review of Psychology, 64, 77–107 (2013).

[6] Piehl, J. The ‘Golden Section’: An Artifact of Stimulus Range and Demand Characteristics. Perceptual and Motor Skills, 43(1), 47–50 (1976).