Fibonačio tinklelis

Seka ir kompozicijos ritmas

Fibonačio tinklelis – tai geometrinė kompozicijos analizės priemonė, kurioje vaizdo plokštuma dalijama pagal pasirinktus Fibonačio sekos skaičius. Skirtingai nuo trečdalių taisyklės, šios padalos nėra vienodo pločio. Jos leidžia apžiūrėti įvairaus mastelio vaizdo sritis, tarpus tarp objektų, kompozicinių akcentų padėtį ir bendrą ritmą.

Vieno visuotinai priimto Fibonačio tinklelio, kuriuo nuo seno būtų naudojęsi dailininkai, nėra. Įvairios schemos gali remtis skirtingais sekos nariais, jų sumomis arba geometrinėmis konstrukcijomis. Todėl svarbiausia žinoti, kaip konkretus tinklelis sudarytas. Šiame straipsnyje nagrinėjama aiškiai apibrėžta, simetriška kompozicinė konstrukcija, naudojama REGIS ARS. Ji nėra tapati Fibonačio kvadratams ar Fibonačio spiralei.

Kas yra Fibonačio seka

Fibonačio seka paprastai užrašoma taip:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Pradedant trečiuoju nariu, kiekvienas skaičius gaunamas sudėjus du ankstesnius. Pavyzdžiui, 3 + 5 = 8, o 5 + 8 = 13. Formaliai tai reiškia Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Seka taip pat gali būti užrašoma pradedant nuliu: 0, 1, 1, 2, 3, 5 ir t. t. Šie užrašymo variantai apibūdina tą pačią rekursinę priklausomybę [1].

Kai nagrinėjamas dviejų gretimų, vis didesnių sekos narių santykis, jis artėja prie aukso pjūvio skaičiaus φ ≈ 1,618034. Tačiau ne kiekvienas iš atskirų mažų Fibonačio skaičių sudarytas tinklelis yra aukso pjūvio tinklelis. Seka ir aukso pjūvis matematiškai susiję, bet nėra vienas ir tas pats [1].

Kaip sudarytas nagrinėjamas tinklelis

REGIS ARS Fibonačio tinklelio konstrukcijai naudojami šeši sekos nariai:

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20

Jų suma – 20 – laikoma viso paveikslo matmens santykiniu ilgiu. Kaupiamosios sumos iki paskutinio nario yra 1, 2, 4, 7 ir 12. Padalijus kiekvieną iš jų iš 20, gaunamos penkios pradinės padalos: 5 %, 10 %, 20 %, 35 % ir 60 %.

Kiekvienai šių padalų pridedama simetriška padėtis, matuojama nuo priešingo krašto. Pašalinus pasikartojimus ir išrikiavus didėjimo tvarka, vertikalių linijų padėtys nuo kairiojo krašto yra:

5 % · 10 % · 20 % · 35 % · 40 % · 60 % · 65 % · 80 % · 90 % · 95 %

Tokios pat santykinės padėtys naudojamos horizontalioms linijoms nuo viršutinio krašto. Iš viso brėžiama dešimt vertikalių ir dešimt horizontalių linijų, sudarančių simetrišką struktūrą.

Jeigu paveikslo plotis W, o aukštis H, kiekvienos linijos koordinates galima užrašyti paprastai: x = p × W ir y = p × H, kur p yra viena iš nurodytų procentinių padalų, išreikšta dešimtaine trupmena.

Šios konkrečios koordinatės yra pasirinktos kompozicinės schemos apibrėžimas, o ne istorinis dailės proporcijų dėsnis. Kitas Fibonačio skaičių rinkinio ilgis arba kitoks jų dėliojimo būdas duotų kitą tinklelį.

Kiek sričių susidaro ir kodėl tai svarbu

Dešimt vertikalių linijų padalija paveikslą į vienuolika vertikalių juostų. Dešimt horizontalių linijų – į vienuolika horizontalių juostų. Kartu susidaro 121 stačiakampė sritis ir 100 vidinių linijų susikirtimų.

Juostų pločiai nuo vieno krašto iki kito, procentais, yra tokie:

5 · 5 · 10 · 15 · 5 · 20 · 5 · 15 · 10 · 5 · 5

Centrinė juosta yra platesnė – 20 % viso matmens. Abipus jos išdėstytos siauresnės ir platesnės juostos. Tokia struktūra gali padėti pastebėti ritmą ir mažų bei didelių plotų santykius, bet pati savaime nesukuria akcento.

Ne visos 121 srities ribos yra vienodai svarbios konkrečiai kompozicijai. Tinklelio tankumas gali padėti analizuoti, bet gali ir kliudyti matyti visumą. Naudok tik tas linijas, kurios iš tiesų atsako į pasirinktą kompozicinį klausimą.

Pavyzdys: 60 × 40 cm drobė

Paimkime horizontalią 60 cm pločio ir 40 cm aukščio drobę. Vertikalių linijų atstumai nuo kairiojo krašto yra:

3 · 6 · 12 · 21 · 24 · 36 · 39 · 48 · 54 · 57 cm

Horizontalių linijų atstumai nuo viršutinio krašto yra:

2 · 4 · 8 · 14 · 16 · 24 · 26 · 32 · 36 · 38 cm

Šie skaičiai gaunami padauginus drobės plotį arba aukštį iš santykinės padalos. Nėra būtina rinktis drobę, kurios kraštinės atitinka gretimus Fibonačio skaičius. Šis tinklelis gali būti projektuojamas ant bet kokio stačiakampio ar kvadrato: jis skaidys kiekvieną matmenį atskirai, nepakeisdamas išorinio formato proporcijos.

Svarbu nepainioti tinklelio su skirtingo dydžio Fibonačio kvadratų išdėstymu. Pastarasis yra kita geometrinė konstrukcija, kurios kvadratų kraštinių ilgius lemia seka ir kuri natūraliai suformuoja tam tikro kraštinių santykio stačiakampį.

Kaip dailininkui skaityti šį tinklelį

1. Pirmiausia ieškok visumos

Prieš įjungdamas schemą, keliais stambiais plotais pasižymėk pagrindinius šviesos ir tamsos santykius, objektų grupės siluetą ir svarbiausią akcentą. Jei žvilgsnis negali perskaityti kompozicijos be tinklelio, papildomos dvidešimt linijų savaime jos neišgelbės.

2. Tikrink vaizdo dalis, o ne visus susikirtimus

Centrinė 20 % juosta ir abipus jos esančios 5 % juostos gali būti naudingos kaip orientyrai objektų grupėms, tarpams ir didžiųjų masių riboms. Išorinės 5 % ir 10 % padalos gali padėti vertinti paraštes ir arti krašto esančias formas. Nebūtina, kad akcentas atsidurtų ant vieno iš šimto susikirtimų.

3. Lygink skirtingas kompozicijas

Kai kurios kompozicijos aiškiau skaitomos pagal centrą, trečdalių taisyklę ar įstrižaines. Nėra reikalo pritaikyti vienos schemos kiekvienam motyvui. Tinklelį verta naudoti kaip patikrinimo priemonę, o ne kaip privalomą projektavimo šabloną.

Taikymas tapyboje

Natiurmortas: grupės ir neigiama erdvė

Natiurmorte tinklelis gali padėti palyginti tarpą nuo daiktų grupės iki paveikslo kraštų, įvertinti pagrindinio indo padėtį ir antraeilių objektų ryšį su bendra forma. Pavyzdžiui, aukštą vazą galima perkelti nuo centrinės juostos arčiau vienos vidinės padalos ir stebėti, kaip pasikeičia atsvara iš kitos pusės.

Tačiau svarbiausia nėra vaza, pataikanti ant tikslios linijos. Vertink jos šešėlio masę, persidengimą su kitais daiktais, audinio klostes ir likusios tuščios erdvės formą. Mažas ryškus vaisius gali atsverti didesnį, bet mažo kontrasto indą.

Peizažas: horizontas ir pasikartojimai

Peizaže daug horizontalių linijų suteikia galimybę palyginti keletą horizonto aukščio variantų, reljefo juostų ir skirtingų planų santykius. Jei kadre yra pasikartojantys medžiai ar pastatai, tinklelis gali padėti apžiūrėti jų išdėstymo ritmą, tačiau jų tarpų nebūtina dirbtinai priderinti prie skaičių sekos.

Ypač svarbu vengti pernelyg tiesmuko naudojimo. Tikras kraštovaizdis turi perspektyvą, atmosferą, netaisyklingas formas ir nevienodą kontrastą. Skaitinis skaidymas šių savybių nepakeičia.

Portretas ir figūra: kompozicija, ne anatomija

Portrete galima tikrinti, kiek vietos paliekama virš galvos, šonuose ir žvilgsnio kryptimi. Fibonačio tinklelis gali padėti įvertinti figūros mastelį formato atžvilgiu, bet nėra žmogaus kūno ar veido proporcijų matavimo sistema. Jo linijos nesako, kur privalo būti akis, nosis ar alkūnė.

Abstrakti kompozicija: ritminės padalos

Abstrakčioje tapyboje padalų netolygumas gali būti tiesiogiai panaudotas kaip eskizo eksperimentas: vienas didelis plotas, kelios siauresnės juostos ir sąmoningai nevienodi tarpai tarp formų. Vis dėlto pusiausvyrą lemia ir spalva, vertė, faktūra bei kraštų pobūdis, ne vien juostų matmenys.

Kuo skiriasi tinklelis, kvadratai ir spiralė

Fibonačio tinklelis – šio straipsnio tema. Tai tiesių linijų schema, kurios padėtys apskaičiuojamos iš pasirinktų sekos narių ir jų sumos.

Fibonačio kvadratai – tarpusavyje jungiami kvadratai, kurių kraštinės ilgiai gali būti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ir t. t. Kai jie dėliojami nuosekliai, formuojasi vis didėjantis stačiakampis.

Fibonačio spiralė – kreivė, dažniausiai vaizduojama ketvirčio apskritimų lankais, nubrėžtais tokiuose kvadratuose. Ši iš apskritimų dalių sudaryta kreivė nėra tiksliai ta pati, kas matematinė logaritminė aukso spiralė, nors didėjant sekai konstrukcijos panašėja [4, 5].

Fi tinklelis – atskirai apibrėžtas aukso pjūviu paremtas tiesių linijų skaidymas. Net jei kai kurios linijos vizualiai panašios, skirtingų tinklelių apskaičiavimo metodai ir koordinatės nesutampa.

ARS šias konstrukcijas pateikia kaip skirtingus kompozicinių gairių pasirinkimus: Fibonačio tinklelį, Fibonačio kvadratus, Fibonačio spiralę ir spiralę su kvadratais. Jos turi bendrą matematinį kontekstą, bet atlieka nevienodą analizės funkciją.

Ką iš tikrųjų žinome apie istoriją

Skaičių seka šiandien siejama su Leonardu Piziečiu, vadinamu Fibonacci. Savo 1202 m. knygoje Liber abaci jis pateikė triušių dauginimosi uždavinį, kuriame išryškėja ši skaitinė priklausomybė. Tačiau jis nebuvo pirmasis žmogus, aprašęs tokio tipo seką [2].

Dar prieš Fibonacci Indijos matematikos ir eilėdaros tradicijoje nagrinėtos trumpų ir ilgų skiemenų kombinacijos, susijusios su ta pačia skaičių seka. Istoriniuose tyrimuose minimi Virahanka, Gopala ir Hemačandra. 1985 m. matematikos istoriko Parmanando Singho straipsnyje apžvelgiami jų darbai ir ankstyvesnė šios sekos istorija [3].

Vis dėlto iš matematinės sekos senumo negalima spręsti, kad šiame straipsnyje aprašytą dvidešimties linijų simetrišką tinklelį naudojo senovės ar Renesanso tapytojai. Tokiai konkrečiai autorystei įrodyti reikėtų istorinių šaltinių. Vien iš šiandien ant paveikslo uždėtos schemos matomų sutapimų to nustatyti neįmanoma.

Ar skaičių seka garantuoja gražesnį paveikslą?

Ne. Matematinė sekos savybė yra įrodoma, bet kompozicijos estetinis pranašumas – atskiras empirinis klausimas. Nei pati Fibonačio seka, nei šios konkrečios tinklelio koordinatės savaime neužtikrina geresnio meninio rezultato.

Įdomu, kad net palyginus artimesnes geometrines formas, pavyzdžiui, aukso spiralę ir Fibonačio spiralę, estetinių pasirinkimų tyrimai neduoda pagrindo jas pristatyti kaip nekintamą visuotinį grožio etaloną [4]. Iš tyrimų apie spiralės formų vertinimą negalima daryti tiesioginės išvados apie šio tiesių linijų tinklelio veiksmingumą.

Tikrasis klausimas dailininkui paprastesnis: ar uždėta schema padeda pastebėti vaizdo santykius, kurių prieš tai nepastebėjai? Jei taip, ji naudinga. Jei blaško ar verčia daiktus stumdyti vien dėl linijų, ją geriau išjungti.

Praktinis pratimas: vienas motyvas, trys variantai

Pasistatyk nedidelį natiurmortą iš keturių daiktų arba pasirink peizažo fotografiją kaip eskizo pavyzdį. Paruošk tris vienodo formato mažus eskizus.

1. Be gairių. Suplanuok objektų grupę, pagrindinį šviesos ir tamsos santykį, dominavimą ir neigiamą erdvę.
2. Su trečdalių taisykle. Pabandyk kitą akcento padėtį ir pakeisk vaizdo dalių santykius. Nekopijuok pirmojo eskizo mechaniškai.
3. Su Fibonačio tinkleliu. Pažymėk 5, 10, 20, 35, 40, 60, 65, 80, 90 ir 95 % padalas. Pasirink tik kelias linijas konkrečiai problemai, pavyzdžiui, per siauram tarpui arba neįtikinamai grupei, išspręsti.

Padėjęs eskizus greta, vertink pagrindinį akcentą, vertinių masių pusiausvyrą, siluetą, kraštų ir tarpų ritmą. Užsirašyk, kuris sprendimas tau veikė geriausiai ir kodėl. Teisingas atsakymas neprivalo būti trečiasis variantas.

Apibendrinimas

Fibonačio tinklelis yra savitas būdas tirti nevienodo dydžio kompozicines sritis. Nagrinėjamame ARS variante naudojamos šešių Fibonačio skaičių sumos, iš kurių simetriškai gaunama po dešimt vertikalių ir horizontalių padalų.

Tinklelis gali būti naudingas analizuojant intervalus, kompozicinį ritmą ir erdvės paskirstymą. Jis nėra istoriškai universali tapybos taisyklė ir neturėtų būti painiojamas su Fibonačio kvadratais ar spirale. Kaip ir visos gairės, jis geriausiai veikia tada, kai padeda priimti sąmoningą meninį sprendimą.

Šaltiniai ir papildoma literatūra

[1] Weisstein, Eric W. Fibonacci Number. Wolfram MathWorld. Definition of the sequence and its relationship to the golden ratio.

[2] O’Connor, J. J., Robertson, E. F. Fibonacci. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Biography and the historical context of the 1202 Liber abaci.

[3] Singh, Parmanand. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica 12(3), 229–244 (1985). DOI: 10.1016/0315-0860(85)90021-7.

[4] Hübner, Ronald. Golden spiral or Fibonacci spiral: Which is more beautiful and why? i-Perception (2024). A study of aesthetic responses to spiral shapes, not proof of the grid’s usefulness.

[5] On the Construction of 3D Fibonacci Spirals*. Mathematics 12(2), 201 (2024). Discusses the classical square-and-quarter-circle construction.