Šakninės konstrukcijos

Pasikartojančios proporcijos nuo √2 iki √8

Paveiksle gali būti didelių ir mažų sričių, kurios atrodo tarpusavyje susijusios, nors jose nesikartoja tie patys objektai. Vienas iš būdų tokius santykius tyrinėti – dalyti stačiakampį į mažesnius stačiakampius nekeičiant pagrindinės proporcijos. Šakninės konstrukcijos leidžia tai padaryti tiksliais geometriniais veiksmais.

Pradinis stačiakampis turi √n : 1 kraštinių santykį. Padalijus ilgesniąją kraštinę į n lygių dalių, kiekviena gauta sritis yra tos pačios proporcijos, tik pasukta 90° kampu. Kartojant skaidymą vis mažesnėse srityse, proporcija išlieka. Tinklelį galima tankinti, tačiau dailininkui svarbiausi dažniausiai yra ne smulkiausi langeliai, o didelių ir mažų sričių tarpusavio ryšiai.

Šiame straipsnyje į vieną seką sujungtos √2–√8 konstrukcijos. Aptarsime jų bendrą matematiką, skirtingą REGIS ARS naudojamą padalų skaičių ir praktinius būdus pasinaudoti tinklais nesupainiojant matematinio taisyklingumo su menine kokybe.

Nuo kvadrato iki šakninių stačiakampių šeimos

Pradėkime nuo kvadrato, kurio kraštinė lygi vienam vienetui. Pagal Pitagoro teoremą jo įstrižainė yra √2. Pasirinkę šį ilgį kaip naujo stačiakampio ilgesniąją kraštinę, o vienetinį ilgį – kaip trumpesniąją, gausime √2 stačiakampį.

Seką galima tęsti. Statusis trikampis, kurio statiniai yra 1 ir √2, turi √3 ilgio įžambinę. Statiniai 1 ir √3 duoda √4 = 2. Taip pat gaunamos √5, √6, √7 ir √8 proporcijos. Kiekvieną ilgį galima geometriškai sukonstruoti, todėl dešimtainis skaičiaus artinys reikalingas matuojant, bet ne apibrėžiant proporciją.

Horizontalaus šakninio stačiakampio plotis yra W, aukštis H, o jų santykis:

W/H = √n

Pavadinimas nusako kraštinių santykį, o ne linijų, langelių ar objektų skaičių. √4 tiksliai lygi 2, todėl turime įprastą dviejų kvadratų stačiakampį. √8 = 2√2, taigi ši proporcija susijusi su √2. Nereikia painioti ir √5 stačiakampio su aukso pjūviu, nors φ = (1 + √5)/2.

Kodėl skaidant proporcija išlieka

Tarkime, horizontalaus stačiakampio plotis W = H√n. Padalykime jo ilgesniąją kraštinę į n lygių dalių. Kiekviena nauja juosta bus W/n pločio ir H aukščio. Jos ilgesniosios ir trumpesniosios kraštinių santykis:

H/(W/n) = nH/W = √n

Taigi kiekviena juosta yra panašus, 90° pasuktas stačiakampis. Toliau kiekvienos juostos ilgesniąją kraštinę dalijame į n dalių. Gauname n² mažesnių stačiakampių, vėl orientuotų kaip pradinis. Po trečiojo lygio turėsime n³ sričių, vėl pasuktų. Kiekviename lygyje išsaugoma proporcija, o kiekvienos pradinės srities plotas padalijamas vienodai.

Ši savybė galioja tada, kai skaidymo dalių skaičius atitinka skaičių po šaknies ženklu: √5 stačiakampis, padalytas į penkias juostas, išsaugo proporciją, o padalytas į šešias – ne. Vadinasi, tai ne savavališkas dekoratyvinis tinklelis.

Matematiškai tokį procesą galima tęsti neribotai. REGIS ARS rodomi padalų lygiai yra pasirinktas programos konstrukcijos detalumas, o ne privalomos ribos ar istoriniai nurodymai.

Šakninė konstrukcija ir dinaminė simetrija – skirtingos gairės

Abi sistemos prasideda tos pačios šeimos šakniniais stačiakampiais, bet yra skirtos skirtingiems santykiams analizuoti.

Atvirkštinė juosta, užimanti 1/n pradinio stačiakampio ploto, pasitaiko abiejuose aiškinimuose. Dinaminėje simetrijoje ji išvedama per įstrižaines ir statmenąsias, o šakninėje konstrukcijoje tampa pirmuoju dalijimo žingsniu. Geometrinis santykis bendras, bet galutiniai tinklai skirtingi.

Kaip REGIS ARS įtalpina konstrukciją į drobę

REGIS ARS pirmiausia nubraižo didžiausią pasirinktos proporcijos įcentruotą stačiakampį, telpantį į drobę. Tik tada jis nuosekliai dalijamas. Programa neištempia √n konstrukcijos iki bet kokio drobės kraštinių santykio.

Pavyzdžiui, 60 × 40 cm drobė turi 3:2 proporciją. Tai nėra nei √2, nei √3, nei √4 stačiakampis. Šiame formate √2 konstrukcija užima visą 40 cm aukštį, palikdama maždaug po 1,72 cm abiejuose šonuose. √3–√8 konstrukcijos užima visą 60 cm plotį, o viršuje ir apačioje lieka vienodos juostos. Šios neuždengtos sritys taip pat priklauso kompozicijai: jos nereiškia, kad paveikslą reikia apkarpyti, ir nėra programos klaida.

Vertikalioje drobėje konstrukcija atitinkamai pasukama. Tinklo padalas reikia vertinti pagal jo paties įtalpinto stačiakampio kraštus, o ne savaime tapatinti su visos drobės padalomis.

Septynios REGIS ARS konstrukcijos

Kiekviename lygyje į nurodytą dalių skaičių dalijama kiekvienos tuo metu esančios srities ilgesnioji kraštinė. Pradinio horizontalaus stačiakampio dalijimo kryptys kaitaliojamos: pirmiausia vertikaliai, tada horizontaliai, paskui vėl vertikaliai.

Tai yra sričių, o ne nubrėžtų linijų skaičius. Programa braižo atkarpas atskirų sričių viduje; gretimos atkarpos susijungia į ilgesnes ištisines tinklelio linijas. Pasirinktas dalijimo lygių skaičius lemia galutinio tinklo detalumą.

√2 – penki lygiai, trisdešimt dvi sritys

√2 stačiakampis dalijamas į dvi panašias dalis. Padalijus jas dar kartą, gaunamos keturios sritys; po trijų papildomų lygių jų bus 8, 16 ir galiausiai 32. Kryptys kaitaliojamos: vertikaliai, horizontaliai, vertikaliai, horizontaliai, vertikaliai. Galutinis horizontalus tinklas atrodo kaip aštuoni stulpeliai ir keturios eilutės; langeliai yra vertikalūs √2 stačiakampiai.

60 × 40 cm drobėje įtalpinta sritis yra maždaug 56,57 × 40 cm. Kiekvieno galutinio langelio matmenys – apie 7,07 × 10 cm. Aiškinant principą dažnai naudingiau iš pradžių parodyti vieną centrinę padalą ir keturių sričių struktūrą, o ne visas trisdešimt dvi iš karto.

Toks proporcijų išlaikymas pažįstamas iš idealių ISO A serijos popieriaus formatų: lapą dalijant pusiau, išsaugoma apytikriai tokia pati kraštinių proporcija. Tai geometrijos pavyzdys, o ne tapybos taisyklė.

√3 – keturi lygiai, aštuoniasdešimt viena sritis

Padalijus plotį į tris dalis, gaunami 3 vertikalūs stačiakampiai. Kiekvieną jų dalijant pagal ilgesniąją kraštinę, atsiranda 9 horizontalūs stačiakampiai. Kartojant kaitaliojamą procesą gaunamos 27, o paskui 81 panašios sritys. Galutinis tinklas atrodo kaip 9 × 9.

Vienodas eilučių ir stulpelių skaičius gali priminti kvadratinių langelių tinklą. Tačiau taip nėra: įtalpintas stačiakampis turi √3 proporciją, ir kiekvienas mažasis langelis išsaugo tą patį santykį. Ši sistema naudinga grupavimo ir mastelio tyrinėjimui, o ne įprastam trečdalių taisyklės tinklui pakeisti.

√4 – trys lygiai, šešiasdešimt keturios sritys

Kadangi √4 = 2, pradinis stačiakampis yra du greta esantys kvadratai. Dalydami plotį į keturias lygias juostas gausime keturis vertikalius 2:1 stačiakampius. Antrame lygyje turėsime 16 horizontalių, o trečiame – 64 vertikalius stačiakampius. Galutinis tinklas atrodo kaip 16 × 4.

Pirmasis dalijimas į keturias atvirkštines juostas nėra tas pats, kas paprastas dvigubo kvadrato padalijimas į du kvadratus. Abi konstrukcijos gali būti naudingos analizėje, tačiau tik keturių juostų atveju jau pirmajame lygyje gaunami pasukti 2:1 stačiakampiai.

√5 – trys lygiai, šimtas dvidešimt penkios sritys

√5 konstrukcijoje kiekviename žingsnyje taikomos penkios padalos: 5 → 25 → 125 sričių. Galutinis horizontalus tinklas turi 25 stulpelius ir 5 eilutes. Tai tankiausias iš čia aprašomų septynių REGIS ARS šakninių konstrukcijų tinklų.

Ryšys su aukso pjūviu yra algebrinis φ = (1 + √5)/2 – tačiau tai ne tie patys tinkleliai. √5 skaidymo nereikėtų vadinti nei aukso pjūvio, nei Fibonacci konstrukcija. Tapyboje smulkias padalas geriausia naudoti saikingai, tikrinant tarpus ir pasikartojančius akcentus jau išsprendus didžiųjų masių santykius.

√6 – du lygiai, trisdešimt šešios sritys

Pirmajame lygyje įtalpintas plotis padalijamas į šešias vertikalias √6 juostas. Antrajame kiekviena juosta dalijama į šešis mažesnius horizontalius stačiakampius. Gaunamos 36 sritys, išdėstytos 6 × 6. Kiekvienas langelis turi √6 proporciją, nors stulpelių ir eilučių skaičius vienodas.

Kadangi pradinis stačiakampis gana ištęstas, prieš naudojant visą tinklą verta įvertinti išorines paraštes ir aktyvių objektų grupių santykį su ramesnėmis sritimis.

√7 – du lygiai, keturiasdešimt devynios sritys

Septynios vertikalios juostos padalijamos į septynias horizontalias dalis: 7 → 49 sritys. Galutinis tinklas atrodo kaip 7 × 7, o kiekvieno langelio kraštinių santykis išlieka √7.

Šis formatas išryškina palyginti siauras atvirkštines sritis. Jis gali padėti lyginti nedidelę akcentų grupę su plačiu bendru plotu, tačiau pats skaičius septyni nesuteikia akcentų vietoms ypatingos visuotinės reikšmės.

√8 – du lygiai, šešiasdešimt keturios sritys

Aštuonios vertikalios padalos ir po jų atliekamos aštuonios horizontalios padalos sukuria 64 sritis, išdėstytas 8 × 8. Kiekviena išsaugo √8 proporciją. Kadangi √8 = 2√2, dar nepadalytą √8 stačiakampį galima perpjauti į dvi lygias dalis – gausime du horizontalius √2 stačiakampius. Tai papildomas šio formato ryšys, tačiau jis nepakeičia šiai gairei taikomo kartotinio dalijimo į aštuonias dalis.

√8 yra labiausiai ištęsta šios sekos proporcija. Jos tinklas gali padėti palyginti pasikartojančius tarpus ilgoje kompozicijoje, bet negalima ignoruoti ir neuždengtų drobės paraščių.

Kaip tinklelį naudoti tapyboje

Dalijimo schema naudingiausia, kai ji skaitoma nuo stambių santykių prie smulkių. Pirmiausia nagrinėkime įtalpinto stačiakampio ribas ir pirmąją padalą. Nuspręskime, ar pagrindinė vertės masė turėtų užimti vieną sritį, kirsti ribą, ar sąmoningai prieštarauti padalai. Tik tada smulkesnes sritis naudokime atstumams, masteliui ir ritmui tikrinti.

Trys skirtumai padeda išvengti dažnų klaidų:

• Vienodas geometrinis plotas nėra vienodas vizualinis svoris. Kontrastas, vertė, spalvos sodrumas, kraštų ryškumas, detalumas ir objekto atpažįstamumas vieną sritį gali padaryti daug aktyvesnę už kitą.
• Tinklelio ribos nėra privalomos objektų ribos. Figūra, medis, šešėlis ar architektūrinė forma gali kirsti kelias sritis. Dažnai būtent tai padeda išlaikyti vaizdo vientisumą.
• Šakninis tinklelis nėra perspektyvos ar anatomijos tinklelis. Padalos nenustato sueigos taškų, teisingų galvos proporcijų ar privalomo horizonto aukščio.

Dažnai geras sprendimas – kelis gretimus langelius sujungti į vieną didesnę tamsią ar šviesią masę, o kitą grupę palikti ramesnę. Svarbu formų santykiai, ne tai, kiek atskirų langelių matomai užpildyta.

Praktinis pratimas: nuo vienos padalos iki viso tinklo

Pasirinkime motyvą su dviem ar trimis aiškiomis masėmis ir visuose bandymuose naudokime tuos pačius drobės matmenis. Palyginkime keturis mažus eskizus:

1. Be tinklelio. Iš akies nustatykime pagrindines vertės mases ir tuščią erdvę.
2. Su pirmąja padala. Atsižvelgdami į pasirinktą šaknį, naudokime dvi, tris, keturias ar daugiau stambių sričių. Nuspręskime, kur bus dominuojanti grupė.
3. Su visu tinklu. Smulkesnes padalas pasitelkime atstumams ir formų pasikartojimui vertinti, bet nestatykime po objektą į kiekvieną langelį.
4. Paslėpus tinklelį. Pataisykime eskizą dėl aiškumo ir išraiškos. Atsisakykime bet kokio dirbtinio sutapimo, kuris vaizdą silpnina.

Tą patį motyvą verta išbandyti iš pradžių su √2, paskui su √5. Abu tinklai remiasi tuo pačiu proporcinio panašumo principu, tačiau skiriasi detalumu. Prieš nuspręsdami, ar papildomos padalos buvo naudingos, palyginkime rezultatus miniatiūros dydžiu.

Istorinis kontekstas ir ribotumai

Šakniniai stačiakampiai kyla iš elementariosios geometrijos, tad juos galima konstruoti nepriklausomai nuo bet kurios istorinės dailės teorijos. XX amžiaus pradžioje Jay Hambidge’as išplėtojo įtakingas idėjas apie šaknines proporcijas ir dinaminę simetriją. Vėlesni geometriniai tyrimai, tarp jų Rachel Fletcher darbai, šiuos stačiakampius nagrinėjo kaip projektavimo konstrukcijas. Tačiau matematiškai taisyklingas tinklelis neįrodo, kad konkretus istorinis dailininkas jį naudojo.

Aukščiau nurodyti dalijimo lygiai aprašo REGIS ARS realizaciją, o ne tariamai iš senovės Graikijos perimtą privalomą sistemą. Dailininkas gali nagrinėti mažiau lygių, ignoruoti atskiras padalas arba visai atsisakyti schemos, jei stebėjimas padeda sukurti stipresnį vaizdą.

Išvada

Šakninės konstrukcijos √2 – √8 – tai giminingų pasikartojančių proporcinių tinklų šeima. Šaknies reikšmė nustato, į kiek dalių galima padalyti stačiakampį išsaugant jo proporcijas. Vėlesni lygiai kuria hierarchiją nuo stambių sričių iki mažesnių. Septyni variantai skiriasi kraštinių santykiu ir tinklelio detalumu, bet visi primena tą patį principą: tikslus skaidymas gali paaiškinti vaizdo santykius, tačiau vizualinė pusiausvyra lieka dailininko atsakomybė.

Apie įstrižainių ir atvirkštinių sričių schemas, paremtas tais pačiais santykiais, skaitykite straipsnyje Dinaminė simetrija.

Šaltiniai ir papildoma literatūra

1. Hambidge, Jay. The Elements of Dynamic Symmetry. Brentano’s, 1926.

2. Fletcher, Rachel. Dynamic Root Rectangles. Part One: The Fundamentals. Nexus Network Journal 9(2), 2007, pp. 327–361.

3. Fletcher, Rachel. Dynamic Root Rectangles Part Two: The Root-Two Rectangle and Design Applications. Nexus Network Journal 10(1), 2008, pp. 149–178.

4. Blake, Edwin M. Dynamic Symmetry-A Criticism. The Art Bulletin 3(3), 1921, pp. 107–127.

5. ISO. ISO 216:2007: Writing Paper and Certain Classes of Printed Matter-Trimmed Sizes.