Fibonačio kvadratai

Nuo skaičių sekos iki kompozicijos

Fibonačio kvadratai – geometrinė konstrukcija, kurioje vienas prie kito jungiami kvadratai, kurių kraštinės atitinka Fibonačio sekos skaičius. Didėjant kvadratams susidaro stačiakampiai, kurių kraštinių santykis artėja prie aukso pjūvio. Tokia konstrukcija leidžia nagrinėti dydžių kaitą, skirtingo mastelio plotų santykius ir kompozicinį ritmą [1, 2].

Dailininkui tai pirmiausia analizės ir eksperimentavimo priemonė, o ne taisyklė, pagal kurią privalu išdėstyti kiekvieną paveikslo objektą. Kvadratų geometrija yra tiksliai apskaičiuojama. Jos meninis poveikis priklauso nuo konkrečių formų, vertinių santykių, spalvų ir sumanymo.

Matematinis pagrindas

Fibonačio seką galima užrašyti taip:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Pradedant trečiuoju nariu, kiekvienas skaičius yra dviejų ankstesniųjų suma: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5. Todėl kvadratas, kurio kraštinė lygi naujajam sekos skaičiui, gali būti prijungtas prie anksčiau sudaryto stačiakampio ilgesniosios kraštinės [1].

Svarbu, kad kvadrato skaičius nurodo kraštinės ilgį, o ne plotą. Kvadrato, kurio kraštinė 8 vienetai, plotas yra 64 kvadratiniai vienetai. Tai padeda suprasti, kodėl didieji kvadratai vaizde greitai pradeda dominuoti.

Kaip konstruojama kvadratų seka

Pradėk nuo dviejų gretimų 1 × 1 kvadratų. Jie sudaro 2 × 1 stačiakampį. Prie jo ilgosios kraštinės prijunk 2 × 2 kvadratą ir gausi 3 × 2 stačiakampį. Toliau prijunk 3 × 3, paskui 5 × 5, 8 × 8 ir 13 × 13 kvadratus. Kaskart naują kvadratą junk prie viso iki tol sudaryto stačiakampio ilgosios kraštinės, keisdamas pridėjimo pusę aplink konstrukciją [1, 2].

Konstrukciją galima auginti sukant pagal laikrodžio rodyklę arba prieš ją. Ji taip pat gali būti pasukta ar veidrodiniu būdu atspindėta. Tai nėra skirtingos matematinės taisyklės – skiriasi tik orientacija.

Septynių kvadratų kraštinių seka:

1 · 1 · 2 · 3 · 5 · 8 · 13

Šie septyni kvadratai be tarpų ir persidengimų užpildo 13 × 21 vienetų stačiakampį (arba 21 × 13, jeigu pasukame konstrukciją). Bendras jų plotas:

1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8² + 13² = 273 = 13 × 21

Tai ne atsitiktinis sutapimas. Galioja bendroji tapatybė: pirmųjų n Fibonačio skaičių kvadratų suma lygi n-tojo ir kito skaičiaus sandaugai: F₁² + … + Fₙ² = Fₙ × Fₙ₊₁ [2, 3].

Kodėl atsiranda ryšys su aukso pjūviu

Vis didesnių Fibonačio sekos narių santykis artėja prie skaičiaus φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034. Todėl ir gautų stačiakampių kraštinių santykiai palaipsniui artėja prie aukso stačiakampio santykio [1, 4].

Palygink kelias reikšmes:

• 5/3 ≈ 1,6667
• 8/5 = 1,6
• 13/8 = 1,625
• 21/13 ≈ 1,6154
• φ ≈ 1,6180

Santykiai tai viršija φ, tai lieka mažesni už jį. Nė vienas baigtinis gretimų Fibonačio skaičių santykis nėra tiksliai lygus φ. Todėl iš septynių kvadratų sudarytas 13 × 21 stačiakampis yra aukso stačiakampio aproksimacija, o ne tikslus aukso stačiakampis.

Aukso stačiakampį galima skaidyti vis mažesniais panašiais stačiakampiais. Fibonačio kvadratų konstrukcija veikia kita kryptimi: paprastai pradedama mažais kvadratais ir einama prie vis didesnių. Šių dviejų procedūrų nereikia painioti [4].

Kaip tai įgyvendinta REGIS ARS kompozicijos gairėse

REGIS ARS gairė Fibonačio kvadratai remiasi būtent septyniais kvadratais: 1, 1, 2, 3, 5, 8 ir 13. Jie pridedami paeiliui į dešinę, apačią, kairę, viršų ir vėl ta pačia krypčių seka. Tokia pradinė orientacija sudaro 13 vienetų pločio ir 21 vieneto aukščio bendrą figūrą.

Kad gairė tilptų į pasirinkto formato drobę, konstrukcija proporcingai sumažinama iki daugiausia 95 % galimo dydžio ir centruojama. Kvadratai neištempiami, jų kraštinių santykis lieka 1:1. Taigi stačiakampėje drobėje likusi erdvė gali būti nevienoda iš abiejų pusių.

Pavyzdžiui, 60 × 40 cm horizontalioje drobėje nepasukta 13 × 21 konstrukcija užima apie 23,52 × 38 cm. Drobėje lieka daug laisvos vietos šonuose. Tai ne matematinė klaida, o skirtingų formatų ir orientacijų pasekmė. Jei norima užpildyti daugiau ploto, pirmiausia reikia apsvarstyti konstrukcijos pasukimą arba kitą drobės formatą, o ne deformuoti kvadratus.

Tai konkreti mūsų nagrinėjamo įrankio konstrukcija, ne visuotinai privalomas Fibonačio kvadratų standartas. Kiti pavyzdžiai gali naudoti daugiau kvadratų arba kitą pradinę orientaciją.

Kvadratai, spiralė ir kombinuota schema

Kvadratų kontūrai ir spiralė nėra tas pats. Fibonačio kvadratai rodo plotų hierarchiją, kraštines, stačiakampius ir konstrukcijos posūkius. Fibonačio spiralė gaunama kiekviename kvadrate nubrėžiant ketvirčio apskritimo lanką, kurio spindulys lygus kvadrato kraštinei. Gretimus lankus sujungus susidaro spiralinę kryptį primenanti kreivė [5, 6].

Tokie lankai yra apskritimų dalys. Jų kreivumas kiekviename lanke pastovus, o pereinant į kitą lanką pasikeičia. Tai nėra tiksli logaritminė aukso spiralė, kurios spindulys didėja tolydžiai pagal pasirinktą logaritminę priklausomybę. Fibonačio spiralė yra geometrinė aproksimacija [5, 6].

Kombinuotoje schemoje galima rodyti ir kvadratų kontūrus, ir lankus. Kvadratai tada padeda suprasti konstrukciją, o lankai – jos kryptingumą. Atskirame straipsnyje verta nagrinėti pačią spiralę ir tai, kaip ją prasmingai interpretuoti tapyboje.

Istorinis kontekstas ir mitai

Leonardas Pizietis, vadinamas Fibonacci, skaičių seką aprašė 1202 m. veikale Liber abaci, nagrinėdamas ir žinomą uždavinį apie triušių dauginimąsi [7]. Tačiau sekos sudarymo dėsningumai buvo žinomi Indijos matematikos tradicijoje anksčiau: juos nagrinėjo Virahanka, Gopala ir Hemachandra, kaip aprašo matematikos istoriko Parmanando Singho tyrimas [8].

Tai patvirtina sekos istoriją, bet nesuteikia pagrindo teigti, kad Viduramžių ar Renesanso tapytojai visuotinai komponavo paveikslus pagal šiuolaikinę septynių Fibonačio kvadratų diagramą. Tokiam teiginiui reikėtų konkrečių dokumentų ar patikimų kūrinių konstrukcijos tyrimų.

Lygiai taip pat paviršutiniškas kvadratų arba spiralės sutapimas su kriauklės, augalo ar garsaus paveikslo kontūru nėra įrodymas. Gamtoje yra įvairių augimo modelių, o paveikslams galima parinkti daugybę apkirpimų ir perdangų. Matematinę galimybę reikėtų skirti nuo dokumentuotos meninės praktikos [5].

Praktinis pritaikymas tapyboje

Natiurmortas: dydžių hierarchija

Natiurmorte skirtingo dydžio kvadratai gali būti naudojami kaip pagalbinės sritys pagrindiniam daiktų grupės siluetui, aukštesniam indui, mažesniems objektams ir neigiamai erdvei palyginti. Pavyzdžiui, didžiausio kvadrato srityje galima ieškoti pagrindinės šviesios masės, o mažesnių kvadratų zonoje – antrinių kontrastų.

Tačiau tai nereiškia, kad vienas vaisius turi tiksliai tilpti į 3 × 3 sritį, o indas – į 5 × 5. Tikrieji daiktų persidengimai, šešėliai ir vizualinis svoris gali būti svarbesni už geometrinį sutapimą.

Peizažas: mastelių kaita ir ritmas

Peizaže kvadratų dydžių didėjimas gali pasiūlyti idėjų, kaip derinti stambius ir smulkius vizualinius elementus – pavyzdžiui, didelę debesų masę, tolimą miško siluetą ir mažus priekinio plano akcentus. Vis dėlto tikrovišką erdvę pirmiausia formuoja perspektyva, atmosferinis gylis, vertiniai kontrastai ir šviesa.

Kvadratai neapibrėžia horizonto padėties ar perspektyvos susikirtimo taškų. Jų nereikėtų laikyti nei perspektyvos tinkleliu, nei gamtinių formų matavimo sistema.

Portretas ir figūra: bendras formatas

Portrete konstrukcija gali padėti svarstyti figūros santykį su fonu, bendrą siluetą ar foninių plotų pasiskirstymą. Ji nėra žmogaus anatomijos proporcijų taisyklė. Joks Fibonačio skaičius nenusako, kur privalo būti konkretaus žmogaus akis, nosis ar ranka.

Abstrakcija ir grafinė kompozicija

Abstrakčiame kūrinyje kvadratų seka gali tapti tiesiogine struktūrine medžiaga: skirtingi laukai, ritmiškai kintantys masteliai, posūkiai ir šių plotų atsikartojimai. Tačiau tinklelį verta sąmoningai keisti, jeigu dėl jo atsiranda monotoniškas ar dirbtinis sprendimas.

Kada ši konstrukcija neveikia

Didėjantys kvadratai sukuria ryškią hierarchiją, bet kartu gali pernelyg nukreipti dėmesį į didžiausią plotą arba mažą vidinę kvadratų sankaupą. Griežta kvadratinė logika gali prieštarauti plastiškam, netaisyklingam motyvui. Be to, stipriai nesutampant drobės ir konstrukcijos formatams dalis schemos funkcionalumo gali būti prarasta.

Neskubėk pritaikyti paveikslo prie tinklelio. Pirma įvertink didžiąsias vertės mases, siluetą, kraštų pobūdį ir žiūrovo dėmesio kryptį. Geometrinė tvarka savaime nesukuria nei įtaigos, nei paveikslo prasmės.

Praktinis pratimas: trys kompozicijų variantai

1. Nubraižyk konstrukciją. Languotame popieriuje nubrėžk septynis kvadratus, kurių kraštinės yra 1, 1, 2, 3, 5, 8 ir 13 langelių. Patikrink bendrus 13 × 21 stačiakampio matmenis. Vėliau pasuk konstrukciją 90° ir palygink vaizdą.
2. Sukurk tris natiurmorto eskizus. Pirmą piešk be gairių. Antrajame panaudok kvadratų ribas kaip orientyrus skirtingiems objektų grupės masteliams. Trečiajame schemą pasuk arba veidrodiniu būdu atspindėk ir sąmoningai keisk kompozicinį centrą.
3. Palygink ne matematiką, o rezultatą. Įvertink, kur aiškiausiai atsiskiria pagrindinė ir antrinės masės, kaip veikia neigiama erdvė, ar natūralus objekto siluetas nenukenčia nuo dirbtinės konstrukcijos. Jei be tinklelio sukurtas variantas stipresnis, tai ir yra naudingas pratimo rezultatas.

Apibendrinimas

Fibonačio kvadratai – matematiškai nuoseklus būdas išnagrinėti didėjančius mastelius ir jų tarpusavio ryšį. Septynių kvadratų konstrukcija sudaro 13 × 21 stačiakampį, kurio proporcijos artimos aukso pjūviui, bet nėra jam tiksliai lygios.

Tapytojo darbe ši struktūra vertingiausia tada, kai naudojama palyginimui, paieškai ir eksperimentui. Ji gali pasiūlyti tvarką, bet negali priimti kompozicinio sprendimo už dailininką.

Šaltiniai ir papildoma literatūra

[1] Beardon, Toni. Whirling Fibonacci Squares. NRICH, University of Cambridge, 2011.

[2] Approximation to Golden Rectangle using Fibonacci Squares. ProofWiki.

[3] Nagy, M., Cowell, S. R., Beiu, V. On the Construction of 3D Fibonacci Spirals. Mathematics, 12(2), 201 (2024).

[4] Weisstein, Eric W. Golden Rectangle. Wolfram MathWorld.

[5] Hart, Sarah. The Maths of Proportion in Art, Design and Nature. Gresham College, 2022.

[6] Hübner, Ronald. Golden spiral or Fibonacci spiral: Which is more beautiful and why? i-Perception, 15(2) (2024).

[7] O’Connor, J. J., Robertson, E. F. Leonardo Pisano Fibonacci. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.

[8] Singh, Parmanand. The so-called fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica, 12(3), 229–244 (1985).