Fibonačio spiralė

Geometrija, judėjimas ir kompozicija

Fibonačio spiralė – gerai pažįstama schema, dažnai minima kalbant apie dailės ir matematikos ryšius. Ji konstruojama jungiant apskritimų lankus, nubrėžtus kvadratuose, kurių kraštinių ilgiai atitinka Fibonačio seką. Taip susidaro nuo mažų formų prie didesnių besisukanti kreivė. Dailininkui ji gali padėti nagrinėti mastelio kaitą, kryptį ir žvilgsnio judėjimą paveikslo plokštumoje [1–3].

Tačiau šią schemą lydi ir nemažai klaidingų teiginių. Fibonačio spiralė nėra matematiškai tiksli auksinė spiralė, o ant paveikslo uždėta gražiai sutampanti kreivė dar neįrodo, kad autorius sąmoningai naudojo tokią konstrukciją. Tikslus geometrijos ir jos ribų supratimas vertingesnis už pažadą, esą spiralė savaime suteikia kompozicijai grožio.

Nuo Fibonačio skaičių iki spiralės

Seka prasideda taip: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. Nuo trečiojo nario kiekvienas skaičius lygus dviejų ankstesnių sumai. Nubraižyk du gretimus kvadratus, kurių kraštinė lygi 1. Prie susidariusio stačiakampio ilgesniosios kraštinės prijunk kvadratą, kurio kraštinė lygi 2. Toliau aplink augančią figūrą prijunk kvadratus, kurių kraštinės yra 3, 5, 8 ir 13. Septyni kvadratai užpildo 13 × 21 proporcijų stačiakampį [1, 2].

Kiekviename kvadrate nubraižomas vienas ketvirtadalis apskritimo. Apskritimo centras yra viename iš kvadrato kampų, o spindulys lygus jo kraštinės ilgiui. Kampai parenkami taip, kad gretimi lankai susijungtų ir sektų kvadratų išdėstymo posūkius. Septynių lankų spinduliai yra 1, 1, 2, 3, 5, 8 ir 13 vienetų. Kiekvienas lankas apima 90°, todėl konstrukciją sudaro septynios nuoseklios ketvirčio apskritimo atkarpos [1, 3].

Kvadratų kontūrai parodo tiesiomis linijomis apibrėžtą konstrukciją, o lankai išryškina jos kryptingumą. Rodant abu elementus lengva suprasti, kur ir kodėl keičiasi mastelis. Palikus vien lankus, ryškesnis tampa kreivės judėjimas.

Kodėl tai tik apytikslė spiralė

Apskritimo kreivumas yra pastovus. Lanko, kurio spindulys R, kreivumas lygus 1/R. Taigi kiekviename Fibonačio spiralės ketvirčio apskritime kreivumas nekinta, tačiau pereinant prie kito, kitokio spindulio lanko jis pasikeičia. Lankai gali susijungti nekeisdami liestinės krypties, bet jų kreivumas jungties vietoje nėra tolydus [3, 4].

Matematiškai tiksli logaritminė spiralė kitokia. Polinėmis koordinatėmis ji aprašoma formule r(θ) = a · e^(bθ), kur a yra teigiamas skaičius, o b nusako spiralės plėtimąsi. Jos spindulys kinta tolydžiai, o kampas tarp liestinės ir iš centro einančios spindulio krypties išlieka pastovus [4].

Auksinė spiralė – atskiras logaritminės spiralės atvejis. Jos spindulys, pasisukus 90°, padidėja aukso pjūvio santykiu φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034. Į išorę augančiai spiralei gauname b = 2 ln(φ)/π ≈ 0,30635. Tai vientisos matematinės kreivės, o ne atskirų ketvirčio apskritimų savybės [4, 5].

Gretimų Fibonačio sekos narių santykiai artėja prie φ. Dėl to didesnių kvadratų išdėstymas vis labiau primena aukso stačiakampio konstrukciją. Panašumas nereiškia tapatumo: baigtinėje schemoje naudojami sveikųjų skaičių ilgio kvadratai, o sujungti apskritimų lankai netampa tikslia logaritmine spirale [2–4].

Kaip spiralė sudaroma REGIS ARS

ARS kompozicijos gairėse yra Fibonačio spiralė (Fibonacci Spiral) ir Fibonačio spiralė + kvadratai (Fibonacci Spiral + Squares). Abu variantai naudoja septynis kvadratus, kurių kraštinės lygios 1, 1, 2, 3, 5, 8 ir 13. Kvadratai paeiliui prijungiami į dešinę, apačią, kairę ir viršų. Toliau ta pati krypties seka kartojama.

Kiekviename kvadrate programa sudaro 90° apskritimo lanką. Jo centras sutampa su vienu kvadrato kampu, o spindulys lygus kvadrato kraštinei.

Visa konstrukcija telpa į 13 × 21 vienetų stačiakampį. Ji proporcingai sumažinama arba padidinama, kad tilptų į 95 % galimo drobės ploto, ir centruojama. Apskritimų lankai neištempiami į elipses, todėl išsaugomi tikrieji proporciniai santykiai.

Pavyzdžiui, 60 × 40 cm horizontaliame paveiksle vertikali konstrukcija užima maždaug 23,52 × 38 cm. Dideli laisvi tarpai kairėje ir dešinėje yra normalūs: pačios schemos formatas vertikalus, o drobės – horizontalus. Bandymas užpildyti drobę tempiant konstrukciją atskirai horizontalia ir vertikalia kryptimi iškraipytų geometriją.

Pasirinkus Fibonačio spiralę, rodomi tik septyni lankai. Pasirinkus Fibonačio spiralė + kvadratai, kartu matomi ir visų septynių kvadratų kontūrai. Kitaip nei atskiroje Auksinės spiralės gairėje, čia nenaudojamas Auksinės spiralės krypties nustatymas. Dabartinėje ARS realizacijoje Fibonačio spiralės išdėstymą lemia nustatyta kvadratų seka.

Tai yra konkretus REGIS ARS konstrukcijos variantas, o ne visuotinė taisyklė, kiek kvadratų privalo turėti Fibonačio spiralė ir kokia kryptimi ji turi suktis. Kitose schemose seka gali būti ilgesnė, o piešinys pasuktas arba atspindėtas [1, 3].

Spiralė kaip kompozicijos gairė

Spiralės kreivė gali pasiūlyti žvilgsnio kelią, einantį per skirtingo dydžio sritis ir besikeičiančias kryptis. Tačiau uždėta geometrinė schema nepriverčia žiūrovo akies ja judėti. Dėmesį taip pat veikia veidai, kontrastai, kraštai, spalvos, objektų atpažįstamumas ir autoriaus sprendimai. Kreivę geriau vertinti kaip klausimą: ar ji sustiprina kompozicijoje jau esantį prasmingą judėjimą?

Natiurmortas: nuo akcento iki objektų grupės

Vienas būdų eksperimentuoti – mažąjį spiralės posūkį priderinti prie svarbios objektų susikirtimo vietos, pavyzdžiui, dviejų siluetų persidengimo arba šviesaus akcento ties tamsesne forma. Didesni lankai gali pasiūlyti, kaip žvilgsnis pereitų prie kitų objektų ir grįžtų prie pagrindinio akcento.

Nebūtina vazos, vaisiaus ar krintančio šešėlio prievarta pritaikyti prie kreivės. Įtaigų natiurmortą lemia tikrųjų tūrių, neigiamos erdvės, vertės masių ir kraštų santykiai. Spiralė gali padėti juos nagrinėti, bet negali jų pakeisti.

Peizažas: krypties ieškojimas be perspektyvos iškraipymo

Didėjantys spiralės posūkiai gali būti lyginami su vingiuojančia pakrante, keliu, reljefo formomis ar debesų masėmis. Jeigu pačios formos jau turi aiškią lenktą kryptį, schema kartais padeda suprasti jų hierarchiją. Tačiau spiralė neskaičiuoja perspektyvos, nenustato horizonto aukščio ir nenurodo nykimo taškų. Tai kompozicinė gairė, o ne projekcijos sistema.

Portretas ir figūra: žvilgsnio kelias, ne anatomijos matas

Portreto kompozicijoje galima pastebėti išlenktą judėjimą tarp peties, galvos, plaštakos ir aplinkinės erdvės. Spiralė gali padėti palyginti šį judėjimą su svarbiausio akcento vieta. Tačiau nei Fibonačio skaičiai, nei auksinė spiralė nenustato universalių veido bruožų ar žmogaus kūno proporcijų. Svarbiausias išlieka konkretaus modelio stebėjimas.

Abstrakti tapyba ir dizainas

Abstrakčioje kompozicijoje pati kreivė gali tapti struktūriniu judesiu. Didėjančių spalvinių ar vertinių plotų seka gali sukurti ritmą ir mastelio kaitą. Dailininkas gali tą judėjimą ir sąmoningai nutraukti, suteikdamas jam atsvarą. Nukrypimas nuo schemos kartais yra toks pat prasmingas kaip ir jos laikymasis.

Istorija, vaizdinė kultūra ir įrodymai

Skaičių seka siejama su Leonardo Piziečiu, kurio veikalas Liber abaci pasirodė 1202 m. Tačiau susiję skaičiavimo principai buvo aptariami ankstesnėje Indijos matematikos tradicijoje. Šie faktai paaiškina skaičių sekos istoriją, bet neįrodo, kad Renesanso tapytojai naudojo septynių kvadratų ir ketvirčio apskritimų schemą [6, 7].

Spiralės motyvai yra gerokai senesni, paplitę įvairiose kultūrose ir aptinkami gamtoje. Vis dėlto senovinio ornamento spiralė nebūtinai yra Fibonačio spiralė. Tam reikėtų įrodyti jos konstrukcijos principą. Lygiai taip pat ant garsaus paveikslo uždėta spiralė gali atrodyti įtikinamai vien todėl, kad ją galima įvairiai didinti, mažinti, sukti ir perkelti. Vaizdinis sutapimas nėra autoriaus darbo metodo dokumentas [8].

Netikslu ir teigti, kad visos kriauklės ar augalai auga pagal tą pačią auksinę spiralę. Skirtingi augimo procesai sukuria skirtingas kreives. Kai kuriose gamtinėse struktūrose išties aptinkami ryšiai su Fibonačio skaičiais, tačiau jie nėra universalūs [8].

Ką apie spiralės estetiką sako tyrimai?

2024 m. psichologas Ronaldas Hübneris eksperimentu palygino žmonių teikiamą pirmenybę matematiškai tolydžiai auksinei spiralei ir iš apskritimų lankų sudarytai Fibonačio spiralei. Tame tyrime dalyviai dažniau rinkosi auksinę spiralę. Autorius šį rezultatą siejo su kreivumo tolydumo skirtumais. Taip pat buvo lyginta Archimedo spiralė ir iš pusapskritimių sudaryta Diurerio spiralė [9].

Tai neįrodo, kad paveikslai su auksine spirale geresni. Eksperimente buvo vertinamos konkrečios atskirai pateiktos kreivės, o ne užbaigti natiurmortai, portretai ar peizažai. Tačiau tyrimas rodo, kad tolydžios kreivės ir sujungtų apskritimo lankų skirtumas yra tikras ir gali būti svarbus suvokimui.

Praktinis pratimas: trys tos pačios kompozicijos versijos

1. Nubraižyk konstrukciją. Ant languoto popieriaus sudaryk septynis kvadratus, kurių kraštinės yra 1, 1, 2, 3, 5, 8 ir 13 langelių. Kiekviename nubraižyk ketvirtį apskritimo. Pažymėk lankų jungimosi vietas ir palygink jų eigą su kvadratų ribomis.
2. Sukurk natiurmorto eskizą. Pirmąją mažą kompoziciją nubraižyk be spiralės. Prieš imdamasis bet kokios schemos nustatyk pagrindines vertės mases ir kompozicinį akcentą.
3. Palygink tris variantus. Pirmąjį palik kaip pradinį. Antrajame patikrink, ar spiralė sustiprina esamą objektų išdėstymą. Trečiajame šiek tiek pakeisk objektų padėtį, kad jų ritmas būtų aiškiau lenktas. Lygink rezultatus, nelaikydamas sutapimo su linija kokybės matu.
4. Paslėpk gaires. Ar kompozicija įtikinama ir be matomos spiralės? Jeigu jos struktūra subyra, greičiausiai reikia sustiprinti pačius vaizdo santykius, o ne dar tiksliau pritaikyti geometriją.

Apibendrinimas

Fibonačio spiralė sudaryta iš su Fibonačio kvadratais susijusių ketvirčio apskritimų lankų. Ji vizualiai įtaigi ir matematiškai aiški, bet nėra tiksli logaritminė auksinė spiralė. REGIS ARS septyni lankai ir pasirinktinai rodomi septyni kvadratai leidžia suprasti konstrukciją neiškraipant jos proporcijų.

Dailininkui ši spiralė pirmiausia naudinga kaip eksperimentavimo priemonė, padedanti svarstyti ritmą, mastelio kaitą, kryptį ir akcentus. Paveikslas turi išlikti įtaigus ir tada, kai gairės paslepiamos. Gera kompozicija nėra teisingai išspręstas geometrijos uždavinys.

Šaltiniai ir papildoma literatūra

[1] NRICH, University of Cambridge. Making Spirals. Construction activity.

[2] Beardon, Toni. Whirling Fibonacci Squares. NRICH, University of Cambridge, 2011.

[3] Nagy, M., Cowell, S. R., Beiu, V. On the Construction of 3D Fibonacci Spirals. Mathematics, 12(2), 201 (2024).

[4] Weisstein, Eric W. Logarithmic Spiral. Wolfram MathWorld.

[5] Weisstein, Eric W. Golden Spiral. Wolfram MathWorld.

[6] O’Connor, J. J., Robertson, E. F. Leonardo Pisano Fibonacci. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.

[7] Singh, Parmanand. The so-called fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica, 12(3), 229–244 (1985).

[8] Hart, Sarah. The Maths of Proportion in Art, Design and Nature. Gresham College, 2022.

[9] Hübner, Ronald. Golden spiral or Fibonacci spiral: Which is more beautiful and why? i-Perception, 15(2), 2024.